La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno.
George Bernard Shaw

No sé si todos recuerdan el programa de televisión "El Castillo de la Suerte".

En el mismo había tres puertas y detrás de dos de las mismas, se encontraban premios de distinto valor y en la tercera siempre había un cerdo.

El participante elegía una puerta, por ej. la Nro. 1, entonces "Cacho" se dirigía a otra puerta, por ejemplo la Nro. 3, la abría y miraba su contenido sin que nadie más pudiera verlo, luego daba al participante la opción de cambiar de puerta, la Nro. 1 por la Nro. 3, si así lo deseaba y luego seguía el procedimiento con la puerta Nro. 2, "Desea cambiar por la puerta Nro. 2……..", etc-

Bueno el problema que presentamos ahora no es igual, y pienso que vale la pena mencionar que ha dado lugar a mucho debate. El planteo del mismo es así:

Detrás de una de las puertas hay un auto y detrás de cada una de las otras dos hay una cabra.

Supongamos nuevamente que el participante elige la puerta Nro. 1. el presentador, que sabe donde está el auto,  se dirige a la puerta Nro.3, la abre y MUESTRA su contenido al participante: UNA CABRA. Y ahora presenta la opción:

- Estimado participante ¿desea cambiar el contenido de la puerta Nro.1 por el de la puerta Nro.2?

Y aquí viene la cuestión: ¿Le conviene al participante cambiar de puerta, o no? ¿Por qué?

Si ustedes vieron la película "21: Black Jack", sabrán que en la misma se plantea este problema y se da la respuesta. Si no lo hicieron, pueden verla a continuación



Pero… ¿le convenció esa explicación?

SOLUCIÓN

El problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado en un programa de televisión estadounidense "Let's Make a Deal" (Hagamos un trato) que fue famoso desde 1963 hasta fines de los 80's. El nombre del problema proviene del presentador del programa Monty Hall.    

¿Cambiar o no cambiar?
Se escribió mucho sobre la respuesta. Hubo muchos que dijeron que había que cambiar porque al inicio, la probabilidad de acierto era 1 entre 3; pero después, como sólo quedaban dos puertas, en el caso de cambiar, la probabilidad de acertar era 1 entre 2, o sea, un 50% de posibilidades en lugar del 33%. Por ello, el cambio era recomendable.

Por lo menos, parecía ser así hasta que entró en el juego una mujer llamada Marilyn vos Savant. Por si nunca oyeron hablar de ella, es una mujer que tiene el Coeficiente Intelectual (CI) más alto del mundo, con una puntuación de 228 (libro Guinness de los Récords desde el año 1986).

Tenía una columna en la revista Parade llamada “Ask Marilyn” y le plantearon esta cuestión. Parece ser que Marilyn contestó que, efectivamente, debía cambiar pero nuestra probabilidad de acierto no sería del 50%, sino del 66%, o sea, de 2/3. Recibió miles de cartas en las que le corregían o se sentían defraudados por fallar en una pregunta tan sencilla. Entre las cartas había unos 1.000 matemáticos (muchos de ellos, doctores). Era tan evidente: había dos puertas, ¿no? pues una posibilidad entre dos era un 50%. ¿Qué podía haber más sencillo? Uno de ellos, un matemático, escribió un contundente:

"La jodiste: Deja que me explique: si se enseña una puerta perdedora, esa información cambia la probabilidad de cualquier elección mantenida, ninguna de las cuales tiene ninguna razón para ser más probable a 1/2. Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro, sé más prudente."


¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta?
Este problema tan conocido y discutido, presenta una arista antiintuitiva o contraintuitiva. ¿Por qué? Porque a uno lo parece que la probabilidad de que el auto esté detrás de una de las dos puertas que quedan, es el 50%, entonces da lo mismo cambiar o no cambiar. Pero ¿es verdad esto?

Bueno, para este confuso problema y buscando ser lo más claro posible, seleccioné esta explicación que aparece en Wikipedia porque me pareció ser de las más esclarecedoras.

Solución
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.


Explicación Gráfica



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