Diofanto de Alejandría fue un matemático griego que nació más o menos por el 200 d.C, y de cuya vida se sabe muy poco (para más exactitud tendríamos que decir que nació en el siglo III d.C.).  Por su originalidad y sus aportaciones fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos.

Generalmente se le atribuye la introducción del cálculo algebraico en las matemáticas. Inició el empleo sistemático de símbolos para indicar potencias, igualdades o números negativos. Demás está decir que no es la notación matemática que conocemos actualmente.

De su obra más importante, Arithmética, que constaba en su origen de trece libros, solo se conservan los seis primeros y un fragmento del séptimo. Es una colección de unos 150 problemas, la mayoría de los cuales son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional.

Básicamente todos los datos biográficos que se conocen de Diofanto, fueron tomados del epitafio que aparece en su tumba en forma de problema, que según parece tampoco se sabe si esos datos son reales, pues fueron tomados de una antología griega (o latina), de 48 epigramas o acertijos recopilados por Metrodoro alrededor del 500 d.C.. Uno de esos acertijos es el del famoso epitafio de Diofanto

Una consideración previa al acertijo: Quiero utilizar este problema sobre "La vida de Diofanto", como un ejemplo de cómo traducir un problema, la letra de un problema que representa una situación, al lenguaje del álgebra. En general lo más común es que se enseñe el procedimiento mecánico de resolver una ecuación, pero no se enseña a interpretar un hecho de la realidad y formularlo en una ecuación. Repasemos lo que Newton en su Aritmética Universal dice al respecto:

"El idioma del álgebra es la ecuación. Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico".

Bueno, basta de cháchara. Aquí va el epitafio en forma de acertijo que dice así: "¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡Oh milagro!, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,  que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre. Después de consolar sus  penas con la ciencia de los números durante cuatro años más, finalizo su vida".

La pregunta, entonces, es: ¿Cuántos años vivió Diofanto?

Algo sobre ecuaciones diofánticas.

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuacion algebraica generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros Z o los números naturales N , es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.
Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es:    ax + by = c, con  a, b, c peertenecientes a Z 

Y para ilustrar lo que acabamos de decir aquí va el siguiente problema que he reproducido sin modificar las unidades:

Un libro de contabilidad con borrones (Un problema de Yakov Perelman)

Al revisar los libros de contabilidad de la tienda, uno de ellos apareció con borrones de tinta, presentando este aspecto:
 

No era posible descifrar el número de metros vendidos, pero no cabía duda de que éste no era un decimal. En el importe de la venta podían distinguirse sólo las tres últimas cifras y establecer que, delante de éstas, había otras tres. ¿Podía la comisión revisora averiguar qué cifras eran las del libro auxiliar, valiéndose tan sólo de estos datos?

Nota:     
r = rublo
k = kopek
1 rublo = 100 kopeks
El rublo es la moneda oficial de la Federación Rusa.
Ratina es un tejido de lana cruzada.
 

SOLUCIÓN

La vida de Diofanto

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡Oh milagro!, cuan larga fue su vida,  =  x
Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.   =  x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla =  x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. =   x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,  =  5
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre =  x/2
Después de consolar sus penas con la ciencia de los números durante cuatro años más, finalizo su vida" = 4

 x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita x = 84, conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84.

Otra solución: Sin embargo me permito aclarar que, como piensan algunos, si observamos atentamente la letra vemos que hay una frase que se presta a un doble sentido. Donde dice: "…..,que duró tan solo la mitad de la de su padre", puede referirse a la edad que el padre tenía en ese momento; entonces la ecuación cambia y sería la siguiente

  x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + (x-4)/2 + 4

de donde x = 65,3333… y haciendo la conversión Diofanto habría vivido 65 años y casi 4 meses.

Un libro de contabilidad con borrones

Representemos el número de metros con la x y el importe de la venta, expresado en kopeks, con el número 4.936 x.
Las tres cifras cubiertas por el borrón las expresamos con una y. Esto, sin duda, expresa la cantidad de millares de kopeks; y toda la suma de kopeks será:
 
1.000y + 728.
 
Tenemos la ecuación 4.936x = 1.000y + 728.
Después de dividir los dos miembros de la igualdad por 8, resulta
 
617x - 125y = 91
 
En esta ecuación, los números x e y son enteros y, además, y no es superior a 999, por cuanto no puede tener más de tres cifras. Resolvamos la ecuación como indicamos antes:
 
125y = 617x - 91
 
y = 5x - 1 + (34 - 8x)/125 = 5x - 1 + 2(17 - 4x)/125 = 5x -1 + 2t
 
(Aquí hemos tomado 617/125 = 5 - 8/125, ya que nos conviene que haya el menor residuo posible). El quebrado
 
2(17- 4x)/125
 
es un número entero, y como 2 no se divide por 125, (17 - 4x)/125, debe ser un número entero, que representaremos con la t. Después, de la ecuación
 
(17 - 4x)/125 = t
 
se obtiene
 
17 - 4x = 125t
 
x = 4 - 31t + (1 - t)/4 = 4 - 31t + t₁
 
donde
t₁ = (1 - t)/4
 
por lo tanto
4t₁ = 1 – t
 
t = 1 - 4t₁
 
x = 125t₁ – 27
 
y = 617t₁ - 134
 
Se sabe que
100 = y < 1000
 
Por consiguiente
100 = 617t₁ - 134 < 1000,
 
de donde
t₁ = 234 / 617 y t1 < 1134 / 617
 
Es evidente que para t₁ existe solamente un valor entero: t₁ = 1, de donde x = 98, y = 483; es decir, fueron vendidos 98 metros por una suma total de 4.837 rublos 28 kopeks. El libro auxiliar, pues, ha sido restablecido.