"Un hombre es como una fracción cuyo numerador corresponde a lo que él es, mientras que el denominador representa lo que él cree ser. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción".

León Tolstoi

El Dr. Epsilon se encontraba sentado en su sillón favorito. Descansaba con la cabeza apoyada en el respaldo mientras reflexionaba sobre la verdad que encerraban las palabras de Tolstoi. De fondo, se oían los compases de la música de Wagner, su predilecta.

Fue sacado abruptamente de sus cavilaciones por la llamada del teléfono. ¿Quién será? pensó. No recibía muchas llamadas. Era el farmacéutico.

-    "Doctor, ¿a que no adivina lo que pasó?"
-    "No", contestó Epsilon.
-    "Otra vez tuve problemas con el laboratorio"
-    "¿Qué pasó?"

-    "Recibí otra partida de diez frascos de las mismas tabletas de la otra vez, pero en esta oportunidad cada frasco con 1000 tabletas".
-    "¿Y cuál es el problema?", preguntó Epsilon afilando su mente.
-    "Que las tabletas estaban sobredosificadas igual que la otra vez, pero ahora, el asunto era mucho peor porque no se sabía la cantidad de frascos con tabletas adulteradas – dijo el farmacéutico y continuó – pero no se preocupe porque ya lo solucioné; hice 10 pesadas y determiné los frascos defectuosos. Asunto concluido"
-    "Y…..", dijo Epsilon que no entendía por qué lo había llamado.
-    "Me preguntaba si en este caso también existiría un procedimiento matemático para determinar en una sola pesada todos los frascos con tabletas adulteradas, teniendo en cuenta que esta vez el número de frascos defectuosos es desconocido".
-    "Sí, lo hay", y entonces el eminente teórico numérico pasó a explicarle el procedimiento.

¿Cuál les parece que fue el procedimiento que Epsilon le explicó al farmacéutico en esta oportunidad?

Nota: Los detalles que no están en la letra pueden verlos en el problema anterior Epsilon interviene en el problema de la farmacia

SOLUCIÓN

Sabemos por el problema anterior (ver "Epsilon interviene en el problema de la farmacia"), que las tabletas sobredosificadas pesan 20 mg, o sea, 10 mg más que las normales y que, en aquel problema, bastaba hacer una correspondencia entre los frascos dispuestos en línea con la sucesión de los 10 primeros números naturales para resolverlo.

Pero en este nuevo caso no se sabe el número de frascos con tabletas adulteradas, por lo tanto la correspondencia expresada en el párrafo anterior no nos sirve.

¿Qué hacemos?

Mmm….buscar otra sucesión y ¿cuál será la sucesión que nos permita identificar todos los frascos defectuosos? Pues…la  progresión geométrica:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512  de razón 2.

¿Y ahora? Ahora procedemos como en el problema anterior: alineamos los frascos y los hacemos corresponder con esta sucesión. Luego, tomamos 1 tableta del primero, 2 del segundo, 4 del tercero….y así sucesivamente. Pesamos todas esas tabletas en la balanza de un solo platillo. Si todas fueran normales pesarían 10230 mg., pero sabemos que esto no es así, que se obtendrá un sobrepeso y que éste, nos deberá permitir determinar cuales son los frascos falsos.

¿Cómo?, Veamos un par de ejemplos:

Sea un sobrepeso de 180 mg. Dividimos entre 10 y nos da 18. Lo expresamos en el sistema binario: 100102. Los 1's representan los frascos anómalos y, contando desde la derecha, estos son el segundo y el quinto.

Supongamos que el sobrepeso nos da 350 mg. Repetimos el procedimiento y obtenemos el número binario 1000112. Los frascos anómalos son entonces: el primero, el segundo y el sexto, siempre contando desde la derecha.

Creo que está claro, aunque hay que decir que el farmacéutico hizo bien en hacer las 10 pesadas porque, como ven, este procedimiento no es nada práctico.